Сделать проекцию на ось. Основные формулы нахождения расстояний с помощью проекции вектора на ось

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Определение 1

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Пример 1

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 (x 1 , y 1) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов (x 1 , 0) и (0 , y 1) .

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора a → на ось, совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Пример 3

Задан b → = (- 3 , 4) . Найти числовую проекцию a → = (1 , 7) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = (a x , a y) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Ответ: - 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следует n p b → a → = a → · cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Определение 4

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

• длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ (a → , b →) ^ < 90 ° ;
• ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда (a → , b → ^) = 90 ° ;
• длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° < a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 < 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Ответ: - 2 .

Пример 6

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = (- 2 , 1 , 2) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Ответ: (- 6 , 3 , 6) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Нахождение проекций геометрически.

Вектор
- проекция вектора на ось OX
- проекция вектора на ось OY

Определение 1. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется взятое со знаком "плюс" или "минус" число, соответствующее длине отрезка, расположенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось координат.

Знак проекции определяется так. Если при движении вдоль оси координат происходит перемещение от точки проекции начала вектора к точке проекции конца вектора в положительном направлении оси, то проекция вектора считается положительной. Если же - противоположно оси, то проекция считается отрицательной.

По рисунку видно, что если вектор ориентирован как-то противоположно оси координат, то его проекция на эту ось отрицательна. Если вектор ориентирован как-то в положительном направлении оси координат, то его проекция на эту ось положительна.

Если вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция на эту ось равна модулю вектора.
Если вектор противоположно направлен оси координат, то его проекция на эту ось по абсолютной величине равна модулю вектора, взятому со знаком минус.

2. Наиболее общее определение проекции.

Из прямоугольного треугольника ABD : .

Определение 2. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется число, равное произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси координат.

Знак проекции определяется знаком косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси.
Если угол острый, то косинус имеет положительный знак, и проекции - положительны. Для тупых углов косинус имеет отрицательный знак, поэтому в таких случаях проекции на ось отрицательны.
- поэтому для векторов, перпендикулярных к оси, проекция равна нулю.

На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.

Проекция точки

Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.

Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.

Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.

Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.

Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).

Как найти длину проекции

Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных данных значений только катетов D и N, длину проекции следует находить при помощи теоремы Пифагора.
Найдем длину гипотенузы D. Для этого нужно воспользоваться значениями катетов √ (N² + T²), а затем подставить полученное значение в следующую формулу нахождения проекции: Nd = N² / √ (N² + T²).

Когда в исходных данных указаны данные о длине проекции катета RD, а также данные о величине гипотенузы D, следует вычислять длину проекции второго катета ND при помощи простой формулы вычитания: ND = D – RD.

Проекция скорости

Рассмотрим, как найти проекцию скорости. Для того чтобы заданный вектор представлял описание движения, его следует разместить в проекции на координатные оси. Различают одну координатную ось (луч), две координатные оси (плоскость) и три координатные оси (пространство). При нахождении проекции необходимо из концов вектора опустить перпендикуляры на оси.

Для того чтобы уяснить значения проекции, необходимо узнать, как найти проекцию вектора.

Проекция вектора

При движении тела перпендикулярно относительно оси, проекция будет представлена в виде точки, и иметь значение равное нулю. Если же движение осуществляется параллельно координатной оси, то проекция будет совпадать с модулем вектора. В случае, когда тело движется таким образом, что вектор скорости направлен под углом φ относительно оси (х), проекция на данную ось будет являться отрезком: V(x) = V cos(φ), где V – это модель вектора скорости.Когда направления вектора скорости и координатной оси совпадают, то проекция является положительной, и наоборот.

Возьмем следующее координатное уравнение: x = x(t), y = y(t), z = z(t). В данном случае функция скорости будет спроецирована на три оси и будет иметь следующий вид: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Отсюда следует, что для нахождения скорости необходимо брать производные. Сам же вектор скорости выражается уравнением такого вида: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k. Здесь i, j, k являются единичными векторами координатных осей x, y, z соответственно. Таким образом, модуль скорости вычисляется по следующей формуле: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №5
к главе «ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ ».

1. Что называют проекцией вектора на координатную ось?

1. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось.

2. Как связан вектор перемещения тела с его координатами?

2. Проекции вектора перемещения s на оси координат равны изменению соответствующих координат тела.

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то какой знак имеет проекция вектора перемещения на координатную ось? А если она уменьшается?

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет положительной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора по направлению самой оси.

Если координата точки с течением времени будет уменьшаться, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет отрицательной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора против направляющей самой оси.

4. Если вектор перемещения параллелен оси X, то чему равен модуль проекции вектора на эту ось? А модуль проекции этого же вектора на ось У?

4. Если вектор перемещения параллелен оси Х, то модуль проекции вектора на эту ось равен модулю самого вектора, а его проекция на ось Y равна нулю.

5. Определите знаки проекций на ось X векторов перемещения, изображенных на рисунке 22. Как при этих перемещениях изменяются координаты тела?

5. Во всех нижеследующих случаях координата Y тела не изменяется, а координата Х тела будет изменяться следующим образом:

a) s 1 ;

проекция вектора s 1 , на ось Х отрицательна и по модулю равна длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 1 .

b) s 2 ;

проекция вектора s 2 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 2 .

c) s 3 ;

проекция вектора s 3 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 3 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 3 .

d) s 4 ;

проекция вектора s 4 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 4 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 4 .

e) s 5 ;

проекция вектора s 5 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 5 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 5 .

6. Если значение пройденного пути велико, то может ли модуль перемещения быть малым?

6. Может. Это связано с тем, что перемещение (вектор перемещения) является векторной величиной, т.е. представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующими положениями. А конечное положение тела (вне зависимости от величины пройденного пути) может находиться как угодно близко к первоначальному положению тела. В случае совпадения конечного и начального положений тела, модуль перемещения будет равен нулю.

7. Почему в механике более важен вектор перемещения тела, чем пройденный им путь?

7. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Зная вектор перемещения тела мы можем определить координаты тела, т.е. положение тела в любой момент времени, а зная только пройденный путь мы не можем определить координаты тела, т.к. мы не имеем сведений о направлении движения, а можем только судить о длине пройденного пути на данный момент времени.