Такое подмножество векторов , что любые различные два из них ортогональны , то есть их скалярное произведение равно нулю:
.
Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .
Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой .
Ортогонализация
Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.
Ортогональное разложение
При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .
См. также
Напишите отзыв о статье "Ортогональная система"
Отрывок, характеризующий Ортогональная система
– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.
О чём речь
Появление на Хабре поста о фильтре Маджвика было по-своему символическим событием. Видимо, всеобщее увлечение дронами возродило интерес к задаче оценивания ориентации тела по инерциальным измерениям. При этом традиционные методы, основанные на фильтре Калмана, перестали удовлетворять публику - то ли из-за высоких требований к вычислительным ресурсам, неприемлемых для дронов, то ли из-за сложной и неинтуитивной настройки параметров.
Пост сопровождался весьма компактной и эффективной реализацией фильтра на C. Однако судя по комментариям, физический смысл этого кода, а равно и всей статьи, для кого-то остался туманным. Что ж, признаем честно: фильтр Маджвика - самый замысловатый из группы фильтров, основанных в общем-то на очень простых и элегантных принципах. Эти принципы я и рассмотрю в своём посте. Кода здесь не будет. Мой пост - не рассказ о какой-то конкретной реализации алгоритма оценивания ориентации, а скорее приглашение к изобретению собственных вариаций на заданную тему, которых может быть очень много.
Представление ориентации
Вспомним основы. Чтобы оценить ориентацию тела в пространстве, нужно для начала выбрать какие-то параметры, которые в совокупности однозначно определяют эту ориентацию, т.е. по сути ориентацию связанной системы координат относительно условно неподвижной системы - например, географической системы NED (North, East, Down). Затем нужно составить кинематические уравнения, т.е. выразить скорость изменения этих параметров через угловую скорость от гироскопов. Наконец, нужно ввести в расчёт векторные измерения от акселерометров, магнитометров и т.д. Вот самые употребительные способы представления ориентации:
Углы Эйлера - крен (roll, ), тангаж (pitch, ), курс (heading, ). Это самый наглядный и самый лаконичный набор параметров ориентации: количество параметров в точности равно количеству вращательных степеней свободы. Для этих углов можно записать кинематические уравнения Эйлера . Их очень любят в теоретической механике, но в задачах навигации они малопригодны. Во-первых, знание углов не позволяет напрямую преобразовать компоненты какого-либо вектора из связанной в географическую систему координат или наоборот. Во-вторых, при тангаже ±90 градусов кинематические уравнения вырождаются, крен и курс становятся неопределёнными.
Матрица поворота
- матрица размера 3×3, на которую нужно умножить любой вектор в связанной системе координат, чтобы получить тот же вектор в географической системе: . Матрица всегда ортогональна, т.е. . Кинематическое уравнение для неё имеет вид .
Здесь - матрица из компонент угловой скорости, измеренных гироскопами в связанной системе координат:
Матрица поворота чуть менее наглядна, чем углы Эйлера, зато в отличие от них позволяет непосредственно преобразовывать векторы и ни при каком угловом положении не лишается смысла. С вычислительной точки зрения её главный недостаток - избыточность: ради трёх степеней свободы вводятся сразу девять параметров, и все их нужно обновлять согласно кинематическому уравнению. Задачу можно слегка упростить, воспользовавшись ортогональностью матрицы.
Кватернион поворота - радикальное, но очень неинтуитивное средство против избыточности и вырождения. Это четырёхкомпонентный объект - не число, не вектор и не матрица. На кватернион можно смотреть с двух ракурсов. Во-первых, как на формальную сумму скаляра и вектора , где - единичные векторы осей (что, конечно, звучит абсурдно). Во-вторых, как на обобщение комплексных чисел, где теперь используется не одна, а три разных мнимых единицы (что звучит не менее абсурдно). Как кватернион связан с поворотом? Через теорему Эйлера: тело всегда можно перевести из одной заданной ориентации в другую одним конечным поворотом на некоторый угол вокруг некоторой оси с направляющим вектором . Эти угол и ось можно объединить в кватернион: . Как и матрицу, кватернион можно использовать для непосредственного преобразования любого вектора из одной системы координат в другую: . Как видно, кватернионное представление ориентации тоже страдает от избыточности, но намного меньше, чем матричное: лишний параметр всего один. Обстоятельный обзор кватернионов уже был на Хабре. Там шла речь о геометрии и 3D-графике. Нас же интересует ещё и кинематика, поскольку скорость изменения кватерниона нужно связать с измеряемой угловой скоростью. Соответствующее кинематическое уравнение имеет вид , где вектор тоже считается кватернионом с нулевой скалярной частью.
Схемы фильтров
Самый наивный подход к вычислению ориентации - вооружиться кинематическим уравнением и обновлять в соответствии с ним любой понравившийся нам набор параметров. Например, если мы выбрали матрицу поворота, то можем написать цикл с чем-нибудь в духе C += С * Omega * dt . Результат разочарует. Гироскопы, особенно MEMS, имеют большие и нестабильные смещения нуля - в результате даже в полном покое вычисляемая ориентация будет иметь неограниченно накапливающуюся ошибку (дрейф). Все ухищрения, придуманные Махони, Маджвиком и многими другими, не исключая и меня, были направлены на компенсацию этого дрейфа за счёт вовлечения измерений от акселерометров, магнитометров, приёмников GNSS, лагов и т.д. Так родилось целое семейство фильтров ориентации, опирающихся на простой базовый принцип.
Базовый принцип. Для компенсации дрейфа ориентации нужно прибавить к измеренной гироскопами угловой скорости дополнительную управляющую угловую скорость, построенную на основе векторных измерений других датчиков. Вектор управляющей угловой скорости должен стремиться совместить направления измеренных векторов с их известными истинными направлениями.
Здесь заключён совершенно иной подход, чем в построении корректирующего слагаемого фильтра Калмана. Главное отличие именно в том, что управляющая угловая скорость - не слагаемое, а множитель при оцениваемой величине (матрице или кватернионе). Отсюда вытекают важные преимущества:
- Оценивающий фильтр можно строить для самой ориентации, а не для малых отклонений ориентации от той, которую дают гироскопы. При этом оцениваемые величины будут автоматически удовлетворять всем требованиям, которые налагает задача: матрица будет ортогональной, кватернион - нормированным.
- Физический смысл управляющей угловой скорости намного яснее, чем корректирующего слагаемого в фильтре Калмана. Все манипуляции делаются с векторами и матрицами в обычном трёхмерном физическом пространстве, а не в абстрактном многомерном пространстве состояний. Это заметно упрощает доработку и настройку фильтра, а в качестве бонуса позволяет избавиться от матриц большой размерности и тяжеловесных матричных библиотек.
Теперь посмотрим, как эта идея реализуется в конкретных вариантах фильтров.
Фильтр Махони. Вся зубодробительная математика оригинальной статьи Махони написана ради обоснования несложных уравнений (32). Перепишем их в наших обозначениях. Если отвлечься от оценивания смещений нуля гироскопов, то останутся два ключевых уравнения - собственно кинематическое уравнение для матрицы поворота (с управляющей угловой скоростью в виде матрицы ) и закон формирования этой самой скорости в виде вектора . Предположим для простоты, что ни ускорений, ни магнитных наводок нет, и благодаря этому нам доступны измерения ускорения свободного падения от акселерометров и напряжённости магнитного поля Земли от магнитометров. Оба вектора измеряются датчиками в связанной системе координат, а в географической системе их положение заведомо известно: направлен вверх, - на магнитный север. Тогда уравнения фильтра Махони будут выглядеть так:
Посмотрим внимательно на второе уравнение. Первое слагаемое в правой части - это векторное произведение. Первый множитель в нём - измеренное ускорение свободного падения, второй - истинное. Поскольку множители обязаны быть в одной системе координат, то второй множитель преобразуется к связанной системе умножением на . Угловая скорость, построенная как векторное произведение, перпендикулярна плоскости векторов-множителей. Она позволяет поворачивать расчётное положение связанной системы координат, пока векторы-множители не совпадут по направлению - тогда векторное произведение обнулится и поворот прекратится. Коэффициент задаёт жёсткость такой обратной связи. Второе слагаемое выполняет аналогичную операцию с магнитным вектором. По сути фильтр Махони воплощает хорошо известный тезис: знание двух неколлинеарных векторов в двух разных системах координат позволяет однозначно восстановить взаимную ориентацию этих систем. Если векторов больше двух, то это даст полезную избыточность измерений. Если вектор всего один, то одну вращательную степень свободы (движение вокруг этого вектора) зафиксировать не удастся. Например, если дан только вектор , то можно скорректировать дрейф крена и тангажа, но не курса.
Разумеется, в фильтре Махони необязательно пользоваться матрицей поворота. Есть и неканонические кватернионные варианты.
Виртуальная гироплатформа. В фильтре Махони мы прилагали управляющую угловую скорость к связанной системе координат. Но можно приложить её и к расчётному положению географической системы координат. Кинематическое уравнение тогда примет вид
Оказывается, такой подход открывает путь к очень плодотворным физическим аналогиям. Достаточно вспомнить то, с чего начиналась гироскопическая техника, - курсовертикали и инерциальные навигационные системы на основе гиростабилизированной платформы в кардановом подвесе.
www.theairlinepilots.com
Задачей платформы там была материализация географической системы координат. Ориентация носителя измерялась относительно этой платформы датчиками углов на рамах подвеса. Если гироскопы имели дрейф, то вслед за ними дрейфовала и платформа, и в показаниях датчиков углов накапливались ошибки. Чтобы эти ошибки устранить, вводилась обратная связь от акселерометров, установленных на платформе. Например, отклонение платформы от горизонта вокруг северной оси воспринималось акселерометром восточной оси. Этот сигнал позволял задать управляющую угловую скорость , возвращающую платформу в горизонт.
Теми же самыми наглядными понятиями мы можем пользоваться и в своей задаче. Выписанное кинематическое уравнение нужно тогда читать так: скорость изменения ориентации представляет собой разность двух вращательных движений - абсолютного движения носителя (первое слагаемое) и абсолютного движения виртуальной гироплатформы (второе слагаемое). Аналогию можно распространить и на закон формирования управляющей угловой скорости. Вектор олицетворяет показания акселерометров, якобы стоящих на гироплатформе. Тогда из физических соображений можно написать:
К точно такому же результату можно было бы прийти и формальным путём, сделав векторное перемножение в духе фильтра Махони, но теперь уже не в связанной, а в географической системе координат. Только нужно ли это?
Первый намёк на полезную аналогию платформенной и бесплатформенной инерциальной навигации появляется, видимо, в древнем патенте «Боинга». Затем эта идея активно разрабатывалась Салычевым, а в последнее время - и мной тоже. Очевидные преимущества такого подхода:
- Управляющую угловую скорость можно формировать на основе понятных физических принципов.
- Естественным образом оказываются разделены горизонтальные и курсовой каналы, очень различные по своим свойствам и способам коррекции. В фильтре Махони они смешаны.
- Удобно компенсировать влияние ускорений за счёт привлечения данных GNSS, которые выдаются именно в географических, а не связанных осях.
- Легко обобщить алгоритм на случай высокоточной инерциальной навигации, где приходится учитывать форму и вращение Земли. Как это сделать в схеме Махони, я не представляю.
Фильтр Маджвика. Маджвик избрал трудный путь. Если Махони, судя по всему, интуитивно пришёл к своему решению, а потом обосновал его математически, то Маджвик с самого начала проявил себя формалистом. Он взялся решать задачу оптимизации. Рассудил он так. Зададим ориентацию кватернионом поворота. В идеальном случае расчётное направление какого-нибудь измеряемого вектора (пусть у нас это будет ) совпадает с истинным. Тогда будет . В реальности это не всегда достижимо (особенно если векторов больше чем два), но можно попробовать минимизировать отклонение от точного равенства. Для этого введём критерий минимизации
Минимизация требует градиентного спуска - движения маленькими шагами в сторону, противоположную градиенту , т.е. противоположную наискорейшему возрастанию функции . Кстати, Маджвик допускает ошибку: во всех своих работах он вообще не вводит и настойчиво пишет вместо , хотя фактически вычисляет именно .
Градиентный спуск в итоге приводит к следующему условию: для компенсации дрейфа ориентации нужно добавить к скорости изменения кватерниона из кинематического уравнения новое отрицательное слагаемое, пропорциональное :
Здесь Маджвик немного отступает от нашего «базового принципа»: он добавляет корректирующий член не к угловой скорости, а к скорости изменения кватерниона, а это не совсем одно и то же. В итоге может оказаться, что обновлённый кватернион перестанет быть единичным и, соответственно, утратит способность представлять ориентацию. Поэтому для фильтра Маджвика искусственная нормировка кватерниона - жизненно важная операция, в то время как для других фильтров - желательная, не необязательная.
Влияние ускорений
До сих пор предполагалось, что истинных ускорений нет и акселерометры измеряют только ускорение свободного падения . Это позволяло получить эталон вертикали и с его помощью скомпенсировать дрейф крена и тангажа. Однако в общем случае акселерометры, независимо от своего принципа действия, измеряют кажущееся ускорение - векторную разность истинного ускорения и ускорения свободного падения . Направление кажущегося ускорения не совпадает с вертикалью, и в оценках крена и тангажа появляются ошибки, вызванные ускорениями.
Это легко проиллюстрировать с помощью аналогии виртуальной гироплатформы. Её система коррекции устроена так, что платформа останавливается в том угловом положении, в котором обнуляются сигналы акселерометров, якобы установленных на ней, т.е. когда измеряемый вектор становится перпендикулярен осям чувствительности акселерометров. Если ускорений нет, это положение совпадает с горизонтом. Когда возникают горизонтальные ускорения, гироплатформа отклоняется. Можно сказать, что гироплатформа похожа на сильно задемпфированный маятник или отвес.
В комментариях к посту о фильтре Маджвика промелькнул вопрос о том, можно ли надеяться на то, что этот фильтр менее восприимчив к ускорениям, чем, например, фильтр Махони. Увы, все описанные здесь фильтры эксплуатируют одни и те же физические принципы и поэтому страдают от одних и тех же проблем. Обмануть физику математикой нельзя. Что же тогда делать?
Самый простой и грубый способ придумали ещё в середине прошлого века для авиационных гировертикалей: уменьшать или вовсе обнулять управляющую угловую скорость при наличии ускорений или угловой скорости курса (которая свидетельствует о входе в вираж). Тот же метод можно перенести и в нынешние бесплатформенные системы. Об ускорениях при этом нужно судить по значениям , а не , которые в вираже сами по себе нулевые. Однако в величине не всегда можно отличить истинные ускорения от проекций ускорения свободного падения, обусловленных тем самым наклоном гироплатформы, который требуется устранить. Поэтому метод работает ненадёжно - зато не требует никаких дополнительных датчиков.
Более точный способ основан на использовании внешних измерений скорости от приёмника GNSS. Если известна скорость , то её можно численно продифференцировать и получить истинное ускорение . Тогда разность будет в точности равна независимо от движения носителя. Ей можно пользоваться как эталоном вертикали. Например, можно задать управляющие угловые скорости гироплатформы в виде
Смещения нуля датчиков
Печальной особенностью гироскопов и акселерометров потребительского класса являются большие нестабильности смещений нуля по времени и по температуре. Для их устранения недостаточно одной только заводской или лабораторной калибровки - нужно дооценивание во время работы.
Гироскопы. Разберёмся со смещениями нуля гироскопов . Расчётное положение связанной системы координат уходит от своего истинного положения с угловой скоростью, определяемой двумя противодействующими факторами - смещениями нуля гироскопов и управляющей угловой скоростью: . Если системе коррекции (например, в фильтре Махони) удалось остановить уход, то в установившемся режиме окажется . Иными словами, в управляющей угловой скорости заключена информация о неизвестном действующем возмущении . Поэтому можно применить компенсационное оценивание : мы не знаем величины возмущения непосредственно, однако знаем, какое корректирующее воздействие нужно, чтобы его уравновесить. На этом основано оценивание смещений нуля гироскопов. Например, у Махони оценка обновляется по закону
Однако результат у него получается странный: оценки достигают 0,04 рад/с. Такой нестабильности смещений нуля не бывает даже у самых скверных гироскопов. Подозреваю, проблема связана с тем, что Махони не использует GNSS или другие внешние датчики - и в полной мере страдает от влияния ускорений. Только по вертикальной оси, где ускорения не вредят, оценка выглядит более или менее здравой:
Mahony et al., 2008
Акселерометры. Оценить смещения нуля акселерометров намного сложнее. Информацию о них приходится извлекать из той же управляющей угловой скорости . Однако в прямолинейном движении эффект смещений нуля акселерометров неотличим от наклона носителя или перекоса установки блока датчиков на нём. Никакой добавки к акселерометры не создают. Добавка появляется только при развороте, что и позволяет разделить и независимо оценить погрешности гироскопов и акселерометров. Пример того, как это можно сделать, есть в моей статье. Вот картинки оттуда:
Вместо заключения:, а что же с фильтром Калмана?
У меня нет сомнения, что описанные здесь фильтры почти всегда будут иметь преимущество перед традиционным фильтром Калмана в отношении быстродействия, компактности кода и удобства настройки - для этого они и создавались. Что касается точности оценивания, то здесь всё не столь однозначно. Мне встречались неудачно спроектированные фильтры Калмана, которые и по точности заметно проигрывали фильтру с виртуальной гироплатформой. Маджвик также доказывал выгоды своего фильтра относительно каких-то калмановских оценок. Однако для одной и той же задачи оценивания ориентации можно соорудить не менее десятка разных схем фильтра Калмана, и у каждой будет бесчисленное количество вариантов настройки. У меня нет никаких поводов думать, что фильтр Махони или Маджвика окажется точнее лучшего из возможных фильтров Калмана. И конечно, за калмановским подходом всегда останется преимущество универсальности: он не налагает никаких жёстких ограничений на конкретные динамические свойства оцениваемой системы.
Определение 1. } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:
Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.
{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }
Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.
Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, {i , j , k } в 3 х – мерном пространстве).Такаясистема называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.
Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.
Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как
А все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,
* Рассмотрим произвольный базис . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:
(Здесь α i и β j – координаты векторов в базисе {f }, а – скалярные произведения базисных векторов).
Величины γ ij образуют матрицу G , называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *
Теорема 2. В любом n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название
9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.
Пусть {a 1 ,...,a n } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:
1. b 1 =a 1 , e 1 = b 1 /| b 1 |, | e 1 |= 1.
2. b 2 ^e 1 , т.к.(e 1 , a 2 )- проекция a 2 на e 1 , b 2 = a 2 - (e 1 , a 2 )e 1 , e 2 = b 2 /| b 2 |, | e 2 |= 1.
3. b 3 ^a 1 , b 3 ^a 2 , b 3 = a 3 - (e 1 , a 3 )e 1 - (e 2 , a 3 )e 2 , e 3 = b 3 /| b 3 |, | e 3 |= 1.
.........................................................................................................
k. b k ^a 1 ,..., b k ^a k-1 , b k = a k - S i=1 k (e i , a k )e i , e k = b k /| b k |, | e k |= 1.
Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис {e 1 ,...,e n }.
Замечание 1 . С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.
Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)
Замечание 2. Особые случаи
Процесс Грама - Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.
Кроме того, процесс Грама - Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j , если a j является линейной комбинацией векторов a 1 ,...,a j -1 . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
10. Геометрические векторные пространства R 1 , R 2 , R 3 .
Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства
R 1 , R 2 , R 3 . Пространство R n при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.
1) Пусть дана система из двух векторов a и b . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:
a = kb.
Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только
тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к любому линейному пространству.
2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:
а = kb+ lc . (*)
Определение. Три вектора a, b, с в R 3 , лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными
(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).
Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.
Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:
Обозначение:
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А ). Концы векторов, совмещённых началами в точке А , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой , если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой .
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Конструктивного исполнения ПЛМ представляют собой БИС, выполненную в виде системы ортогональных шин, в узлах которой располагаются базовые полупроводниковые элементы -транзисторы или диоды. Настройка ПЛМ на требуемое логическое преобразование (программирование ПЛМ) заключается в соответствующей организации связей между базовыми логическими элементами. Программирование ПЛМ выполняется либо при ее изготовлении, либо пользователем с помощью прибора -программатора. Благодаря -таким свойствам ПЛМ, как простота структурной организации и высокая скорость выполнения логических преобразовании, а также сравнительно низкая стоимость, определяемая технологичностью и массовым производством , ПЛМ находят широкое применение в качестве элементной базы при проектировании вычислительных систем и систем автоматизации производства.
Не существует хороших "механических систем", которым можно было бы следовать даже на этом уровне. По моему мнению, вообще никогда и не было успешной "механической" системы, которая описывалась бы линейной моделью . Не существует и теперь и, по всей вероятности, никогда не будет существовать, даже с использованием искусственного интеллекта , аналоговых процессоров, генетических алгоритмов , ортогональных регрессий и нейронных сетей.
Поясним смысл нормы - G. В (пг+1)-мерном пространстве вводится косоугольная система координат , одной осью которой является прямая Хе, а второй осью - пг-мерная гиперплоскость G, ортогональная g. Всякий вектор х может быть представлен в виде
Параболическая регрессия и система ортогональных по-
Ограничимся для определенности случаем т = 2 (переход к общему случаю т > 2 осуществляется очевидным образом без каких-либо затруднений) и представим функцию регрессии в системе базисных функций if>0 (л), (х), ip2 to) являющихся ортогональными (на совокупности наблюденных
Взаимная ортогональность полиномов (7- (JK) (на системе наблюдений xlt к. .., хп) означает, что
При таком планировании, называемом ортогональным, матрица Х Х станет диагональной, т.е. система нормальных уравнений распадается на k+l независимых уравнений
Система точек с выполнением условия ортогональности (план 1-го порядка)
Очевидно, что тензор деформаций в твердом движении обращается в нуль. Можно показать, что верно и обратное если во всех точках среды тензор деформации равен нулю, то закон движения в некоторой прямоугольной системе координат наблюдателя имеет вид (3.31) с ортогональной матрицей а а. Таким образом, твердое движение можно определить как движение сплошной среды, при котором расстояние между любыми двумя точками среды в процессе движения не меняется.
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.
О Пример. Система векторов = (, О,. . ., 0), е% = = (О, 1,. . ., 0), . .., е = (0, 0,. . . , 1) ортогональна.
Оператор Фредгол ма с ядром k (to - TI, 4 - 12) обладает в гильбертовом пространстве (согласно теореме Гильберта) полной ортогональной системой собственных векторов . Это значит, что фг(т) образуют полный базис в Lz(to, Т). Поэтому Я сЯ.
Ортогональная система н-енулевых векторов линейно независима.
Приведенный способ пострюения ортогональной системы векторов t/i, УЪ,. ..> ym+t по заданной линейно неза-
Для биотехнической системы бурения скважин, где объем физической работы остается значительным, исследования биомеханической и двигательно-силовой сфер деятельности представляют особый интерес. Состав и структура трудовых движений , количество, динамические и статические нагрузки и развиваемые усилия изучались нами на буровых установках Уралмаш-ЗД при помощи стереоскопической киносъемки (двумя синхронно действующими камерами по специальной методике при частоте 24 кадра в 1 с) и ганиографического метода с применением трехканального медицинского осциллографа. Жесткое закрепление оптических осей, параллельных друг другу и перпендикулярных к линии базиса (объекта киносъемки), позволило количественно изучать (на основе перспективно-ортогональных сопряженных проекций по кинокадрам, как показано на рис. 48) рабочие позы, траектории перемещения центров тяжести работающих при выполнении отдельных операций, приемы, действия и определять усилия, энергозатраты и др.
Перспективным подходом к определению независимых альтернатив необходимо признать выявление независимых синтетических факторных показателей. Исходная система факторных показателей Xi трансформируется в систему новых синтетических независимых между собой факторных показателей FJ, которые представляют собой ортогональные компоненты системы показателей Хг. Трансформация производится с помощью методов компонентного анализа 1. Математиче-
Одной из составных частей ADAD является модуль для трехмерного проектирования сложных систем трубопроводов. Графическая база данных модуля содержит объемные элементы трубопроводов (соединения, краны, фланцы, трубы). Выбранный из библиотеки элемент автоматически приводится в соответствие с характеристиками трубопроводной системы проектируемой модели. Модуль осуществляет обработку чертежей и создает двух-и трехмерные изображения, включая построение изометрических моделей и ортогональных проекций объектов. Предусмотрен выбор деталей для трубопроводов, видов покрытий и типов изоляций согласно заданной спецификации.
Из соотношений (2.49) видно, как следует строить решение уравнений (2.47). Сначала строится полярное разложение тензора of и определяются тензоры р "ь нцц,- Поскольку тензоры а "ь и р I равны, матрица s имеет вид (2.44), (2.45) в главной системе координат тензора р. Фиксируем матрицу Su. Тогда aad = lp labsd. По aad из уравнения aad = = biljд х ad вычисляется au. "Ортогональная часть" дисторсии находится из (2.49) id = nib sd.
Остальные ветв, условию (2.5 1) не удовлетворяют. Докажем это утверждение. Матри-ца х = A 5, f = X Mfs ортогональна. Обозначим через X j матрицу, соответствующую первой матрице s" (2.44), а через Х й - матрицу, соответствующую любому другому выбору матрицы sa (2.44). Сумма " а + Аза по построению s" равна либо удвоенному значению одного из диагональных
Определение . Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. a × b = 0.
Для ненулевых векторов a и b равенство нулю скалярного произведения означает, что cosj = 0, т.е. . Нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.к. a ×0 = 0.
Упражнение. Пусть и – ортогональные векторы. Тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажите, что
т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).
Определение. Система векторов a 1 ,…, a m называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы .
Таким образом, для ортогональной системы векторов a 1 ,…,a m справедливо равенство:a i ×a j = 0 при i ¹ j , i = 1,…, m ; j = 1,…,m .
Теорема 1.5 . Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, линейно независима. .
□ Доказательство проведем от противного. Предположим, что ортогональная система ненулевых векторов a 1 , …, a m линейно зависима. Тогда
l 1 a 1 + …+ l m a m = 0 , при этом . (1.15)
Пусть, например, l 1 ¹ 0. Домножим на a 1 обе части равенства (1.15):
l 1 a 1 ×a 1 + …+ l m a m ×a 1 = 0.
Все слагаемые, кроме первого, равны нулю в силу ортогональности системы a 1 , …, a m . Тогда l 1 a 1 ×a 1 =0, откуда следует a 1 = 0 , что противоречит условию. Наше предположение оказалось неверным. Значит, ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ■
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.6
. В пространстве R n всегда существует базис, состоящий из ортогональных векторов (ортогональный базис)
(без доказательства).
Ортогональные базисы удобны прежде всего тем, что коэффициенты разложения произвольного вектора по таким базисам определяются просто.
Пусть требуется найти разложение произвольного вектора b по ортогональному базису е 1 ,…,е n . Составим разложение этого вектора с неизвестными пока коэффициентами разложения по данному базису:
Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор e 1 . В силу аксиом 2° и 3° скалярного произведения векторов получим
Так как векторы базиса е 1 ,…,е n взаимно ортогональны, то все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле
Умножая поочередно равенство (1.16) на другие базисные векторы, мы получим простые формулы для вычисления коэффициентов разложения вектора b :
Формулы (1.17) имеют смысл, поскольку .
Определение . Вектор a называется нормированным (или единичным), если его длина равна 1, т.е. (a , a )= 1.
Любой ненулевой вектор можно нормировать. Пусть a ¹ 0 . Тогда , и вектор есть нормированный вектор.
Определение . Система векторов е 1 ,…,е n называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1, т.е.
Так как в пространстве R n всегда существует ортогональный базис и векторы этого базиса можно нормировать, то в R n всегда существует ортонормированный базис.
Примером ортонормированного базиса пространства R n может служить система векторов е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) со скалярным произведением, определенным равенством (1.9). В ортонормированном базисе е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) формулы (1.17) для определения координат разложения вектора b имеют наиболее простой вид:
Пусть a и b – два произвольных вектора пространства R n с ортонормированным базисом е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1). Обозначим координаты векторов a и b в базисе е 1 ,…,е n соответственно через a 1 ,…,a n и b 1 ,…, b n и найдем выражение скалярного произведения этих векторов через их координаты в данном базисе, т.е. предположим, что
Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (1.18) получим
Окончательно имеем
Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов .
Рассмотрим теперь в n-мерном евклидовом пространстве R n совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных векторов a и b через координаты этих векторов в указанном базисе.f 1 ,…,f n евклидова пространства R n скалярное произведение двух любых векторов было равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, необходимо и достаточно, чтобы базис f 1 ,…,f n был ортонормированным.
В самом деле, выражение (1.20) переходит в (1.19) тогда и только тогда, когда выполнены соотношения устанавливающие ортонормированность базиса f 1 ,…,f n .
